等 比 級 數 和

等比数列，又名几何数列（英語：Geometric progression），是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比（英語：Common ratio）。

例如数列：

就是一个等比数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于。

目录

• 1 性質
• 2 等比数列和
• 3 等比数列积
• 4 参见
• 5 参考文献

性質[编辑]

如果一个等比数列的首项記作，公比記作，那么该等比数列第项的一般項为：

換句話說，任意一個等比数列都可以寫成

在一個等比數列中，給定任意兩相連項和（其中），可知公比

給定任意兩項和，則有公比

這裡注意，若是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，。

更一般地說，有：

證明如下：

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其前一項和後一項的幾何平均：

此結果從上面直接可得。

如果有整數，使得 ，那么则有：

證明如下：

由此可將上面的性質一般化成：

其中是一個小於的正整數。

給定一個等比數列 ，則有：

• 是一個等比數列。
• 是一個等比數列。
• 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比，首項。

等比数列和[编辑]

一個等比數列的首項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作。

舉例來說，等比數列的和是。

等比數列求和的公式如下：

其中為首項，為項數，為公比，且。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

将两边同乘以公比 r，有：

(1)式减去(2)式，有：

当时，整理後得證。

當時，可以发现：

综上所述，等比数列的求和公式为：

當時，注意到

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

由此可見，當時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积[编辑]

一個等比數列的首 n 項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作 Pn。

舉例來說，等比數列的積是。

等比數列求積的公式如下：

證明如下：

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為。

参见[编辑]

• 序列
• 數列
• 級數
• 幾何級數
• 幾何平均
• 等差數列
• 等諧數列
• 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献[编辑]

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

查 论 编 序列與級數
算術序列	发散级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数
幾何序列	收斂級數 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … 发散几何级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂
超幾何級數	广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：Hypergeometric function of a matrix argument） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：Elliptic hypergeometric series） · 黎曼微分方程（英语：Riemann's differential equation）
整數序列	整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数
其他序列	发散级数 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯