109學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分:選擇題(占 6 0 分 ) 解 $$\begin{cases}\sin \alpha=3/5 =39/65 \\ \sin \beta = 5/13 = 25/65 \\ \sin 30^\circ = 1/2 = 32.5/65 \end{cases} \Rightarrow \sin \alpha > \sin 30^\circ >\sin \beta,故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$ 解 解 (2)\overrightarrow{OP}= {1\over 4}\overrightarrow{OC} +{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle ODE 內\\ (3)\overrightarrow{OP}= -{1\over 4}\overrightarrow{OC} +{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OEF 內\\(4)\overrightarrow{OP}= {1\over 4}\overrightarrow{OC} -{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OBC 內\\(5)\overrightarrow{OP}= -{1\over 4}\overrightarrow{OC} -{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OAB 內\\,故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解 $$A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1}= \begin{bmatrix}4 & -1 \\-3 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow B=I+A+A^{-1}= \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & -1 \\-3 & 1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow BA=\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & 6 \\18 & 24 \end{bmatrix},故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$ 解 $$\begin{cases}|x-\sqrt{101}|<5 \\ |x-\sqrt{38}|>3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5+\sqrt{101}<x< 5+\sqrt{101} \\ x >3+\sqrt{38}或 x<-3+\sqrt{38}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4 \le x \le 15 \\ x \ge 10或 x\le 3 \end{cases} \\ \Rightarrow 10\le x \le 15 \Rightarrow 有六個整數點,故選\bbox[red,2pt]{(3)} $$ 解 解 $$f(x)=-\sqrt 3 x^3 \Rightarrow f(-x)=\sqrt 3 x^3=-f(x) \Rightarrow f(x)為奇函數\\ \Rightarrow (\cos \theta,\sin \theta) 對稱原點的坐標為 Q=(-\cos \theta,-\sin \theta) =(-\cos \theta,\sin (-\theta)),故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$ 二、多選題 解 解 $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = |\overrightarrow{OP} ||\overrightarrow{OQ} | \cos \theta = 2\times 2\times \cos\theta = 4\cos \theta = \begin{cases}2 & \theta = 60^\circ,如: \angle P_1OQ_1\\-2 & \theta = 120^\circ,如: \angle Q_1OQ_2\\ -4 & \theta = 180^\circ,如: \angle P_1OQ_2 \\ -2& \theta = 240^\circ,如: \angle P_1OP_2\end{cases} \\,故選\bbox[red,2pt]{(4,5)}$$ 解 解 $$\begin{cases}\log a=1.1\\ \log b=2.2 \\ \log c=3.3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=10^{1.1}\\ b= 10^{2.2} \\ c=10^{3.3} \end{cases} \\(A)\times: \begin{cases} a+c= 10^{1.1}+ 10^{3.3} = 10^{2.2}(10^{-1.1}+10^{1.1}) \\ 2b=2\times 10^{2.2}\end{cases} \Rightarrow a+c\ne 2b\\(B)\times: a=10^{1.1}=10\times 10^{0.1} = 10\times \sqrt[10]{10}>10\\(C)\bigcirc: \begin{cases}\log 2000=\log (2\times 10^3)= \log 2+\log 10^3=0.301+ 3=3.301\\ \log 1000=3 \end{cases}\\ \qquad \Rightarrow 3<3.3<3.301 \Rightarrow 1000<c< 2000 \\(D)\times: 2a=2\times 10^{1.1} \ne 10^{2.2}\\(E)\bigcirc: {b\over a}=10^{1.1} = {c\over b}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(3,5)}$$ 解 解
第貳部分:選填題 解 解 $$\begin{cases}黑黑黑:機率為{1\over 2}\times {1\over 3}\times {1\over 3}= {1\over 18} \\ 白白白:機率為{1\over 2}\times {1\over 3}\times {1\over 3}= {1\over 18} \end{cases} \Rightarrow 按三次均同色的機率為{1\over 18}+{1\over 18}= \bbox[red, 2pt]{{1\over 9}}$$ 解 $$\begin{cases}2x+y=10與x-2y+15=0的交點為A=(1,8) \\ 2x+y=10與x-2y=0的交點為B=(4,2) \end{cases} \\ 令f(x,y)=3x-y \Rightarrow \begin{cases}f(A)=3-8=-5 \\ f(B)=12-2=10 \end{cases} \Rightarrow c的最小值為\bbox[red, 2pt]{-5}$$ 解 $$\cos \angle BAD= {\overline{AD}^2+ \overline{AB}^2-\overline{BD}^2 \over 2\times \overline{AD}\times \overline{AB}} \Rightarrow \cos 135^\circ={4+2-\overline{BD}^2 \over 2\times 2\times \sqrt 2} \Rightarrow -{1\over \sqrt 2}={6- \overline{BD}^2 \over 4\sqrt 2}\\ \Rightarrow \overline{BD}=\sqrt {10}\Rightarrow \begin{cases}\overline{OB}= m\\ \overline{OD}=\sqrt{10}-m \end{cases} \Rightarrow \overline{AO}^2 =\begin{cases} \overline{AB}^2-\overline{OB}^2 = 2-m^2\\ \overline{AD}^2-\overline{OD}^2 = 4- (\sqrt{10}-m)^2\end{cases} \\ \Rightarrow 2-m^2= 4- (\sqrt{10}-m)^2 \Rightarrow m={4\over \sqrt{10}} \Rightarrow \overline{AO}^2= \overline{AB}^2-m^2=2-{16\over 10}= {4\over 10}\\ \Rightarrow \overline{AO}= {2\over \sqrt{10}} \Rightarrow \overline{AC}= {4\over \sqrt{10}} = \bbox[red, 2pt]{2\sqrt{10} \over 5}$$ 解 $$\begin{cases}A(1,7,2)\\ B(2,-6,3) \\ C(0,-4,1)\\ 交點P\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overline{BC}直線方程式: {x-2\over -2}={y+6\over 2}={z-3\over -2}\Rightarrow P=(t+2,-t-6,t+3),t\in R \\ \overrightarrow{BC}=(-2,2,-2) \\ \overrightarrow{AP}=(t+1,-t-13,t+1) \end{cases}\\ \Rightarrow \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow (t+1,-t-13,t+1) \cdot (-2,2,-2)=0 \Rightarrow t+1+t+13+t+1=0\\ \Rightarrow 3t+15=0 \Rightarrow t=-5 \Rightarrow P=(-5+2,5-6,-5+3) = \bbox[red, 2pt]{(-3,-1,-2)}$$ $$假設該等腰梯形ABCD(如上圖)在平面坐標上,其原點O為\overline{AB}之中點,\\則該梯形各頂點坐標為\begin{cases} A(2,0)\\ B(-2,0)\\ C(-3,-14) \\ D(3,-14)\end{cases} \Rightarrow 拋物線方程式為為 y=a(x-2)(x+2),\\將D代入可得 -14=a\times 1\times 5 \Rightarrow a=-{14\over 5} \Rightarrow y=-{14\over 5}(x^2-4) \Rightarrow x^2=-{5\over 14}y+4\\ \Rightarrow x^2=4\times -{5\over 56}(y-{56\over 5}) \Rightarrow 焦距為\left| -{5\over 56}\right|=\bbox[red, 2pt]{5\over 56}$$ 解 $$\overline{QT}=2\sqrt 3 \Rightarrow \overline{OQ}= \sqrt 3\\ -- END -- |