立方 和 公式

自然数立方和公式如下：

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}

简记： \sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

那么这个公式是怎么得到的呢？下面来说道说道

【方法一】

根据 k^{4}-(k-1)^{4}=4 k^{3}-6 k^{2}+4 k-1 可知：

n^{4}-(n-1)^{4}=4 n^{3}-6 n^{2}+4 n-1

(n-1)^{4}-(n-2)^{4}=4 (n-1)^{3}-6 (n-1)^{2}+4 (n-1)-1

……

2^{4}-1^{4}=4 \cdot2^{3}-6 \cdot2^{2}+4 \cdot2-1

把左边的代数式全部加起来等于 n^4-1

把右边的代数式全部加起来等于 4(\sum_{i=1}^ni^3-1)-6(\sum_{i=1}^ni^2-1)+4(\sum_{i=1}^ni-1)-(n-1)

整理之后可知：

4\sum_{i=1}^ni^3=n^4+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n

\sum_{i=1}^ni^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{3}{4}n^2+\frac{1}{4}n-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}n

\sum_{i=1}^ni^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2

\boxed{\sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}.\square

注：
（1） 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ；
（2）推导平方和公式借助 k^3-(k-1)^3=(k-(k-1))(k^2+k(k-1)+(k-1)^2)=3k^2-3k+1
方法与推导立方和相同.

接下去的这种方法大家可以先看看下面这道STEP试题：

【方法二】

从(ii)可知：

\begin{aligned} \sum_{k=m^{2}+1}^{(m+1)^{2}} k &=\frac{1}{2}\left[(m+1)^{2}-m^{2}\right]\left[(m+1)^{2}+\left(m^{2}+1\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[2 m+1]\left[2 m^{2}+2 m+2\right] \\ &=2 m^{3}+3 m^{2}+3 m+1 \\ &=m^{3}+(m+1)^{3} \end{aligned}

于是把左边的式子从 1 加到 N^2 可得：

\begin{aligned} 1+(2+3+4) &\left.+(5+6+7+8+9)+\cdots+\left((N-1)^{2}+1\right)+\cdots+N^{2}\right) \\ &=(0+1)+(1+8)+(8+27)+\cdots+\left((N-1)^{3}+N^{3}\right) \end{aligned}

于是，

\frac{1}{2} N^{2}\left(N^{2}+1\right)=2\left(1^{3}+2^{3}+\cdots+N^{3}\right)-N^{3}

\frac{1}{2} N^{2}\left(N^{2}+2 N+1\right)=2\left(1^{3}+2^{3}+\cdots+N^{3}\right)

因此， \boxed{\sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}.\square

前两种都是构造了 \sum_{i=1}^ni^3 与 \sum_{i=1}^ni^2 之间的关系，下面这种就比较直接...

【方法三】Mathematical Inducation

当n=1时， 1^3=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^2=1 成立；

假设当 n=k 时， \sum_{i=1}^{k}i^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2

当 n=k+1 时， \sum_{i=1}^{k+1}i^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3

=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3

=(\frac{1}{4}k^2+k+1)(k+1)^2

=\frac{k^2+4k+4}{4}\cdot(k+1)^2

=\frac{((k+1)+1)^2}{4}\cdot(k+1)^2 ，得证，

因此， \boxed{\sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}.\square

下面这个证明有点厉害，就是看到还有这样的证明方法，忍不住来和大家分享一下，是《Proofs that Really Count》一书第8章Number Theory中的内容。

【方法四】组合证明*

构造两个集合S与T：

集合S中每一个元素都是一个从0到n自然数取值的四元数组，且最后一个数严格大于前三个数，即

\mathcal{S}=\{(h, i, j, k) \mid 0 \leq h, i, j<k \leq n\} .

对于每一个 k\in[1,n] , h,i,j 都有k种取值，因此 |S|=\sum_{k=1}^{n} k^{3} .

注： |S| 表示集合中元素个数.

集合T中每一个元素都是有两个从0到n自然数取值的二元数组，且每个二元数组第二个数都严格大于第一个数，即

\mathcal{T}=\left\{\left(\left\{x_{1}, x_{2}\right\},\left\{x_{3}, x_{4}\right\}\right) \mid 0 \leq x_{1}<x_{2} \leq n, \quad 0 \leq x_{3}<x_{4} \leq n\right\} .

对于每一个 x_2=i\in[1,n] , x_1 都有 i 种取值，所以 \{x_1,x_2\} 一共有 \binom{n+1}{2} 个，同理 \{x_3,x_4\} 也有 \binom{n+1}{2} 个.因此， |T|=\binom{n+1}{2}^2 .

下证 |S|=|T| ，证明两个集合元素相等就是证明 S\subseteq T,T\subseteq S ：

(1)S\subseteq T

考虑下面这个映射 f:S \rightarrow T

f((h, i, j, k))=\left\{\begin{array}{ll} (\{h, i\},\{j, k\}) & \text { if } h<i \\ (\{j, k\},\{i, h\}) & \text { if } h>i \\ (\{i, k\},\{j, k\}) & \text { if } h=i \end{array}\right.

对于任意S中一个元素 (h,i,j,k) ,有以下三种情况：

如果h<i ，对应T中 (\{h,i\},\{j,k\}) ;
如果h=i ，对应T中 (\{i,k\},\{j,k\});
如果h>i ，对应T中 (\{j,k\},\{i,h\}).

因此， S\subseteq T .

(2) T\subseteq S

考虑下面这个映射 g:T \rightarrow S

g(\{h, i\}, \{j, k\})=\left\{\begin{array}{ll} (h,i,j,k) & \text { if } k>i\\ (h,h,j,k) & \text { if } k=i\\ (h,k,j,i) & \text { if } k<i \end{array}\right.

对于任意T中一个元素 (\{h, i\},\{j, k\}) ，有以下三种情况：

如果k>i ，对应S中 (h,i,j,k) ;
如果k=i ，对应S中 (h,h,j,k) ;
如果k<i ，对应S中 (h,k,j,i) .

因此， T\subseteq S .

综上所述， S=T, 于是 |S|=|T|

\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 2 \end{array}\right)^{2}}.\square

这个构造有点强，确切的说，强的是有这样的意识去这样构造证明，很有趣。《Proofs that Really Count》这本书上还介绍了其它恒等式的证明，比如平方和公式 \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c} 2 n+2 \\ 3 \end{array}\right) ，大家感兴趣可以去看一下原书.

下面还有一些其它的立方和的证明方法，比如数形结合，一看图就知道了，但不好描述，所以就不再赘述了，有兴趣大家可以看下面视频。

【其它方法】

如借助面积、体积来证明立方和公式的方法，详见下面B站视频：

〔manim | 数学妙证〕自然数立方和公式的七种妙证 | manim-kindergarten合作视频

申明：上述视频为转载，只为科普，侵权立删.

如果还有其它有趣的证明方法，欢迎交流讨论~

想了解其它数学知识，可参阅：