三元一次方程通解

Question

方程形式：aX + bY + cZ = d

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经典台词
Matlab求取数值解
求解原理
matlab求解

方程1) a= b= c= d=

方程2) a= b= c= d=

方程3) a= b= c= d=

三元一次方程组：aX + bY + cZ = d

例如：

2X + 3Y + 4Z = 119

5X - 6Y + 7Z = 80

8X + 9Y + 10Z = 353

你只需输入

方程1) 2 3 4 119

方程2) 5 -6 7 80

方程3) 8 9 10 353

结果：X=12 Y=13 Z=14

经典台词

1 我是这样的人，如果你问的问题我不知道答案，我会直接告诉你“我不知道”。但我向你保证：我知道如何寻找答案，而且我一定会找出答案的。

2 　　你是我忍不住想疼的人，我把我积蓄了２６年的能量在这一刻为你而迸发了。

4 我累了，我不知道是从哪里开始出了问题，但我就是累了，所有的人际关系都像在工作，清醒的每个瞬间都在劳动。

5 有一个人，你用心去看过且自以为懂得，到头来却发觉看过的懂得的不过是其中一点皮毛而已。

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。

AX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量

特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。

矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：

X = X* +

零空间向量：

关于可解性：

通解、特解：

对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。

A = [ 1 2 2 2;
    2 4 6 8;
    3 6 8 10];
b = [1;
     5;
     6];

format rat;
syms n1 n2;
X0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
C = null(A,'r');
X = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解

参考文献/资料：

高东杰. 求线性方程组AX=b通解的Matlab实现程序[J]. 信息系统工程, 2014(8):122-123.

《Ax=0的解讨论》：https://zhuanlan.zhihu.com/p/44113715

《Ax=b的解讨论》：https://zhuanlan.zhihu.com/p/44114447

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{ d 2 y d x 2 + 4 d y d x + 29 y = 0 y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 15 \left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+29 y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=15 \end{array}\right. {dx2d2y+4dxdy+29y=0y(0)=0,y′(0)=15 的通解

y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')

例子3：求方程 { d x d t = 2 x − 3 y + 3 z d y d t = 4 x − 5 y + 3 z d z d t = 4 x − 4 y + 2 z \left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=2 x-3 y+3 z \\ \frac{d y}{d t}=4 x-5 y+3 z \\ \frac{d z}{d t}=4 x-4 y+2 z \end{array}\right. ⎩⎨⎧dtdx=2x−3y+3zdtdy=4x−5y+3zdtdz=4x−4y+2z通解

x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z',...
　　'Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')

Matlab求取数值解

在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解．而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。

求解原理

欧拉法
在求解数值解过程中假设 x i + 1 − x i = h , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1 x_{i+1}-x_{i}=h, \quad i=0,1,2, \cdots, n-1 xi+1−xi=h,i=0,1,2,⋯,n−1,那么可以尝试用离散的方式去接微分方程： { y ′ = f ( x , y ) y ( x 0 ) = y 0 \left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=f(x, y) \\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} \end{array}\right. {y′=f(x,y)y(x0)=y0
如果h步长较小，有： y ′ ( x ) ≈ y ( x + h ) − y ( x ) h y^{\prime}(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h} y′(x)≈hy(x+h)−y(x)
可以得等到对应的欧拉公式： { y i + 1 = y i + h f ( x i , y i ) y 0 = y ( x 0 ) i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1 \left\{\begin{array}{l} y_{i+1}=y_{i}+h f\left(x_{i}, y_{i}\right) \\ y_{0}=y\left(x_{0}\right) \end{array} \quad i=0,1,2, \cdots, n-1\right. {yi+1=yi+hf(xi,yi)y0=y(x0)i=0,1,2,⋯,n−1
使用数值积分(改进欧拉)

对方程f(x,y)两边由 x i x_i xi到 x i + 1 x_{i+1} xi+1进行积分，并利用梯形公式有： y ( x i + 1 ) − y ( x i ) = ∫ x i x i + 1 f ( t , y ( t ) ) d t ≈ x i + 1 − x i 2 [ f ( x i , y ( x i ) ) + f ( x i + 1 , y ( x i + 1 ) ) ] \begin{aligned} y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_{i}\right) &=\int_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(t, y(t)) d t & \approx \frac{x_{i+1}-x_{i}}{2}\left[f\left(x_{i}, y\left(x_{i}\right)\right)+f\left(x_{i+1}, y\left(x_{i+1}\right)\right)\right] \end{aligned} y(xi+1)−y(xi)=∫xixi+1f(t,y(t))dt≈2xi+1−xi[f(xi,y(xi))+f(xi+1,y(xi+1))]
得到： { y i + 1 = y i + h 2 [ f ( x i , y i ) + f ( x i + 1 , y i + 1 ) ] y 0 = y ( x 0 ) \left\{\begin{array}{l} y_{i+1}=y_{i}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_{i}, y_{i}\right)+f\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)\right] \\ y_{0}=y\left(x_{0}\right) \end{array}\right. {yi+1=yi+2h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)]y0=y(x0)
结合欧拉公式使用可以得到：
{ y i + 1 ( 0 ) = y i + h f ( x i , y i ) y i + 1 ( k + 1 ) = y i + h 2 [ f ( x i , y i ) + f ( x i + 1 , y i + 1 ( k ) ) ] k = 0 , 1 , 2 \left\{\begin{array}{l} y_{i+1}^{(0)}=y_{i}+h f\left(x_{i}, y_{i}\right) \\ y_{i+1}^{(k+1)}=y_{i}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_{i}, y_{i}\right)+f\left(x_{i+1}, y_{i+1}^{(k)}\right)\right] k=0,1,2 \end{array}\right. {yi+1(0)=yi+hf(xi,yi)yi+1(k+1)=yi+2h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1(k))]k=0,1,2
满足精度条件后继续下一步的计算。

此外还可以结合泰勒公式继续得到比如龙格—库塔法、线性多步法等。

matlab求解

语法格式：

[t，x]=solver(’f’,ts,x0,options)
(偷懒直接截图)

例子4： { d 2 x d t 2 − 1000 ( 1 − x 2 ) d x d t − x = 0 x ( 0 ) = 2 ; x ′ ( 0 ) = 0 \left\{\begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}-1000\left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}-x=0 \\ x(0)=2 ; x^{\prime}(0)=0 \end{array}\right. {dt2d2x−1000(1−x2)dtdx−x=0x(0)=2;x′(0)=0
求解程序：

%例子4函数
function dy=vdp1000(t,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
end

命令窗口：
%例子4
t0=0;
tf=3000;
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); 
     plot(T,Y(:,1),'-')

运行结果：

例子5： { y 1 ′ = y 2 y 3 y 2 ′ = − y 1 y 3 y 3 ′ = − 0.51 y 1 y 2 y 1 ( 0 ) = 0 , y 2 ( 0 ) = 1 , y 3 ( 0 ) = 1 \left\{\begin{array}{c} y_{1}^{\prime}=y_{2} y_{3} \\ y_{2}^{\prime}=-y_{1} y_{3} \\ y_{3}^{\prime}=-0.51 y_{1} y_{2} \\ y_{1}(0)=0, y_{2}(0)=1, y_{3}(0)=1 \end{array}\right.